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RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA  –  RETIFICAÇÃO DE ARCOS  –  DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA  –  PROCESSO GERAL  –  DIVISÃO DE ARCOS 


1- Retificação da circunferência
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1.1-  Retificação da circunferência
        (Processo de Kochansky)

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Figura 1


Seja retificar a circunferência de centro O e raio R.
a- Constrói-se o diãmetro AB e traça-se pelo ponto B, uma tangente s, .
b- Desde o centro O, uma semi-reta fazendo com OB um ângulo de 30º, determina o ponto T sobre a reta s.
c- No sentido de T para B, marcam-se sucessivamente três medidas iguais ao raio R e determina-se o ponto M.
d- O segmento AM = pR = semi-circunferência retificada.
(Fig.1)

 

 


2- Retificação de arcos 
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2.1 – Se o arco é menor que 90º.
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Figura 2


Determinar a medida do arco AB.
a- Completamos a circunferência à qual pertence o arco.
b- Traçamos o diâmetro AC e o prolongamos por 3/4 do raio, encontrando o ponto P.
c- Sobre uma tangente t, traçada por A, a reta PB determina o ponto M.
d- O segmento AM é o arco AB retificado. (Fig.2)

 


2.2 – Se o arco for maior que 90º.
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Figura 3


Dividimos o arco em dois menores que 90º e repetimos os passos da construção anterior... (FIg.3)

   
 


3- Divisões para a circunferência
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3.1 – O pentágono regular.
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Figura 4

 


Trata-se de dividir a circunferência em 5x2n partes iguais.
a- Traçamos um diãmetro CD e um raio OA, perpendiculares entre si.
b- Determinamos o ponto médio M do raio OD.
c- Centro em M , o arco de raio MA, encontra N no raio OC.
 AN = L5 = lado do pentágono regular
 ON = L10 = lado do decágono regular
(Fig.4)

 


3.2 – Divisão em 2n partes iguais.
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Figura 5


Constroem-se sucessivamente as bissetrizes dos ângulos centrais de 360º, 180º, 90º, etc...

AC = L4 = lado do quadrado inscrito.
L8 = lado do octógono
(Fig.5)

 


3.3 – Divisão em 3x2n partes iguais.
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Figura 6


Marcam-se sucessivamente seis cordas iguais ao raio para se dividir uma circunferência em seis partes iguais. Teremos o hexágono regular inscrito.
Tomando-se alternadamente os pontos da divisão, temos o triãngulo equilátero inscrito e a divisão da circunferência em três partes iguais.
A corda CE faz a divisão em 12 partes.

(Fig.6)

 


3.4 – Processo aproximado para a divisão em 7x 2n partes iguais. 



Figura 7


Considere-se que o lado do heptágono é aproximadamente igual à metade do lado do triângulo equilátero inscrito.
Sendo assim, constrói-se a corda BC e o raio que a divide ao meio.
(Fig.7)

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4- Processo de Rinaldini para a divisão da circunferência em n partes iguais
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Seja dividir a circunferência em 9 partes iguais. ( Fig. 8)



Figura 8


a- Traçamos o diâmetro AB e o dividimos em 9 partes, assinalando porém, sómente os pontos alternados, 2, 4, 6 e 8.
b- Com raio igual ao diâmetro AB, e com centro em A e B, construímos arcos que se interceptam em P e Q.
c- As retas P2, P4, P6 e P8, encontram a circunferência no semi-plano oposto em relação a AB, os primeiros 4 pontos da divisão. Pelo outro lado, Q2, Q4, Q6 e Q8, completam a divisão desejada.
Por se tratar de um processo aproximado, não podemos repetir sucessivamente uma só corda ao longo da circunferência. O uso dos pontos P e Q, é fundamental na distribuição do êrro.

 


5- Divisão de arcos em n partes iguais
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5.1 - Se o arco AB>180º
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Figura 9


Por exemplo, dividir o arco AB em três partes iguais.
a- Completamos a circunferência, traçamos o diâmetro CD e determinamos o ponto P.
b- A reta PA, encontra M no diâmetro BC.
c- Dividimos MB no número de partes desejado, no caso três partes.
d- As semi-retas P1 e P2, fazem  divisão procurada.
( Fig. 9)

 


5.2 – Se o arco AB<180º 
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Figura 10


O processo é análogo ao anterior.
a- Determinamos M, ponto médio do arco AB, e o ponto P. Completamos a circunferência e traçamos o diâmetro BC.
b- PM, determina N em BC.
c- Dividimos BN no número de partes desejadas, três, noso em questão.
d- Ligamos aos pontos da divisão, mas consideramos sómente os pontos alternados.
e- P2 determina 2', o primeiro ponto da divisão. Com o centro em M, o arco de raio M2' encontra 2" que completa a divisão proposta em três partes iguais.
( Fig. 10)

 

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